✅ Cách viết phương trình đường tròn đi qua 2 điểm ⭐️⭐️⭐️⭐️⭐

Cách viết phương trình đường tròn đi qua 2 điểm – Toán 10 chuyên đề

Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 2 điểm có bán kính R; hoặc đi qua 2 điểm tiếp xúc với đường thẳng (d); hoặc đi qua 2 điểm có tâm nằm trên đường thẳng (Δ) cũng là dạng toán phổ biến. Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách giải bài tập dạng này ngay sau đây.

Cách giải bài tập viết phương trình đường tròn (C) đi qua 2 điểm

Tùy từng trường hợp, bài sẽ cho đường tròn (C) đi qua 2 điểm có bán kính R;

hoặc đường tròn (C) có đường kính AB và tọa độ điểm A, điểm B;

hoặc đường tròn (C) đi qua 2 điểm và có tâm nằm trên đường thẳng (d);

hoặc đường tròn (C) đia qua 2 điểm và tiếp xúc với một đường thẳng (Δ);

Về cơ bản chúng ta cần thực hiện:

 – Tìm toạ độ tâm I(a;b) của đường tròn (C)

 – Tìm bán kính R của (C)

 – Viết phương trình đường tròn (C) dạng: (x – a)² + (y – b)² = R²

Để dễ hiểu hơn, chúng ta cùng vận dụng vào giải một số bài tập minh họa.

* Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn (C) trong biết (C) đi qua 2 điểm AB với A(1;1), B(5,3) và nhận AB là đường kính.

* Lời giải:

– Vì đường tròn (C) có đường kính AB với A(1;1), B(5,3).

– Ta có toạ độ tâm I của (C) là trung điểm A,B là:

(x – 3)2 + (y – 2)2 = 5

* Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 2 điểm A(2;0), B(3;1) và có bán kính R = 5.

* Lời giải:

– Giả sử đường tròn (C) có tâm I(a;b)

Vì đường tròn (C) đi qua 2 điểm A, B nên ta có:

 IA = 5 ⇒ IA2 = R2 = 25

⇒ (a – 2)2 + (b – 0)2 = 25

⇒ a2 – 4a + 4 + b2 = 25 

⇒ a2 – 4a + b2 = 21 (1)

 IB = 5 ⇒ IB2 = R2 = 25 

⇒ (a – 3)2 + (b – 1)2 = 25 

⇒ a2 – 6a + 9 + b2 – 2b + 1 = 15

⇒ a2 – 6a + b2 – 2b = 15  (2)

Lấy (1) trừ (2) vế với vế ta được:

 2a + 2b = 6 ⇒ a + b = 3   

⇒ a = 3 – b  (3)

thay trở lại pt (1) ta có

(3 – b)2 – 4(3 – b) + b2 = 21

⇒ b2 – 6b + 9 – 12 + 4b + b2 = 21

⇒ 2b2 – 2b = 24

⇒ b2 – b -12 = 0

Giải phương trình bậc 2 với ẩn là b này ta được nghiệm b1 = -3 và b2 = 4

Với b = -3 thì từ pt (3) ⇒ a = 6 ⇒ I(6; -3)

Với b = 4 thì từ pt (3) ⇒ a = -1 ⇒ I(-1; 4)

Vậy ta có 2 đường tròn thỏa là:

(C1): (x – 6)2 + (y + 3)2 = 25

(C2): (x + 1)2 + (y – 4)2 = 25

* Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 2 điểm A(0;1), B(1;0) và có tâm nằm trên đường thẳng (d): x + y + 2 = 0 

* Lời giải:

– Giả sử đường tròn (C) có tâm I(a;b),

Vì I(a,b) thuộc đường thẳng x + y + 2 = 0 nên ta có: a + b + 2 = 0 (1)

vì (C) đi qua 2 điểm A(0;1), B(1;0) nên ta có R = IA = IB ⇒ IA2 = IB2 

⇒ (xA – xI)2 + (yA – yI)2 = (xB – xI)2 + (yB – yI)2 

⇒ (a – 0)2 + (b – 1)2 = (a – 1)2 + (b – 0)2

⇒ a2 + b2 – 2b + 1 = a2 – 2a + 1 + b2

⇒ 2b = 2a ⇒ a = b  (2)

thay vào pt (1) ta được a = b = -1

và R2 = IA2 = 12 + 22 = 5

Vậy phương trình đường tròn (C) đi qua 2 điểm A(0;1), B(1;0) và có tâm I(-1;-1) là:

 (x + 1)2 + (y + 1)2 = 5

* Ví dụ 4: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 2 điểm A(-1;0), B(1,2) và tiếp xúc với đường thẳng (d): x – y – 1 = 0

* Lời giải:

– Gọi I(a;b) là tâm đường tròn và R là bán kính của đường tròn (C).

– Khi đó khoảng cách từ tâm I của (C) đến đường thẳng (d) là:

Vì A, B là 2 điểm thuộc đường tròn nên ta có:

 (-1 – a)2 + b2 =  R2   (2)

 (1 – a)2 + (2 – b)2 = R2  (3)

Từ (2) và (3) có: (1 + a)2 + b2 = (1 – a)2 + (2 – b)2

⇒ 1 + 2a + a2 + b2 = 1 – 2a + a2 + 4 – 4b + b2

⇒ 2a + 1 = -2a – 4b + 5

⇒ 4a + 4b = 4

⇒ a + b = 1  (4)

Từ (1) và (2) lại có:

 (a – b – 1)2 = 2[(1 + a)2 + b2]

⇒ 1 + a2 + b2 + 2ab – 6a – 2b = 0

⇒ 1 + (a + b)2 + 6(a + b) – 8b = 0

mà theo (4) thì: a + b = 1 nên

⇒ 1 + 12 + 6 – 8b = 0

⇒ b = 1 và từ (4) ⇒ a = 0

⇒ R2 = 2.

Vậy phương trình đường tròn (C) là: x2 + (y – 1)2 = 2

Cách viết phương trình đường tròn đi qua 2 điểm có tâm I nằm trên đường thẳng delta

Để viết phương trình đường tròn đi qua 2 điểm và có tâm I nằm trên đường thẳng delta ta cần thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Giải sử I(xi; yi) ∈ (Δ) thì I thỏa pt đường thẳng Δ và IA = IB.

• Bước 2: Viết phương trình đường tròn (C) tâm I bán kinh R = IA = IB

Ví dụ viết phương trình đường tròn đi qua 2 điểm có tâm I nằm trên đường thẳng delta

Để viết phương trình đường tròn đi qua 2 đi

* Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A(1; 3), B(3; 1) và có tâm nằm trên đường thẳng delta (Δ): 2x –y + 7= 0.

* Lời giải:

Gọi I (a; b) là tâm của đường tròn (C), khi đó ta có:  IA2 = IB2

⇔ (a – 1)2+ (b – 3)2 = (a – 3)2+ (b – 1)2

⇒ a = b  (1)

Mà  I( a; b) thuộc (Δ): 2x- y + 7= 0 nên có

 2a – b+ 7= 0  (2)

Thay (1) vào (2) ta có:

 a = -7 ⇒ b = -7

Khi đó: R2= IA2= 164 .

Vậy phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A, B và có tâm nằm trên đường thẳng delta có pt:

(x + 7)2+ (y + 7)2 = 164

Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 2 điểm A(0; 1), B(1; 0) và có tâm nằm trên đường thẳng delta (Δ): x + y + 2 = 0.

* Lời giải:

– Giả sử điểm I(a; b) là tâm đường tròn (C)

Vì I nằm trên đường thẳng (Δ) nên ta có: a + b + 2 = 0  (1)

Vì đường tròn (C) đi qua A(0; 1), B(1; 0) nên ta có:

 IA = IB ⇔ IA2 = IB2

⇔ a2 + (1 – b)2 = (1 – a)2 + b2

⇔ a2 + 1 – 2b + b2 = 1 – 2a + a2 + b2

⇔ a = b  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: a = b = -1 ⇒ I(-1; -1)

Mặt khác, lại có:

Vậy phương trình dường tròn (C) đi qua hai điểm A, B và có tâm nằm trên đường thẳng delta có pt:

 (x + 1)2 + (y + 1)2 = 5

🔢 GIA SƯ TOÁN