Tam giác đồng dạng

5/5 - (1 bình chọn)

Thế nào là 2 tam giác đồng dạng? Tổng hợp lý thuyết và bài tập áp dụng

Khái niệm 2 tam giác đồng dạng thuộc phạm vi kiến thức toán lớp 8. Dưới đây là tổng hợp nội dung về định nghĩa, tính chất, phương pháp chứng minh kèm với những ví dụ minh họa cụ thể cùng bài tập áp dụng chi tiết về hai tam giác đồng dạng. Hãy cùng muahangdambao.com theo dõi nhé!

Thế nào là 2 tam giác đồng dạng?

Khái niệm hai tam giác đồng dạng:

*Các trường hợp đồng dạng của tam giác thường

Tam giác đồng dạng là:

  • Hai tam giác có ba cặp cạnh tương ứng tỷ lệ với nhau thì đồng dạng. (cạnh-cạnh-cạnh).

Ví dụ minh họa:

  • Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì đồng dạng. (góc-góc).

Ví dụ minh họa:

  • Hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng tỷ lệ với góc xen giữa hai cặp cạnh ấy bằng nhau thì đồng dạng. (cạnh-góc-cạnh).

Ví dụ minh họa:

Tổng hợp các trường hợp đồng dạng của tam giác thường:

Các trường hợp tam giác đồng dạng của tam giác thường

*Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

  • Định lí 1 : Nếu cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.

Ví dụ minh họa:

Định lí 2 : Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng. (hai cạnh góc vuông)

Ví dụ minh họa:

Định lí 3: Nếu góc nhọn của tam giác vuông này bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác đồng dạng. (góc)

Giả thiết: △ABC và △A’B’C’, có góc A = góc A’ = 90० và góc B = góc B’

Kết luận: ⇾△ABC ~ △A’B’C’

Tính chất tam giác đồng dạng là gì?

Từ hai tam giác đồng dạng suy ra được:

  1. Tỉ số hai đường phân giác, hai đường cao, hai đường trung tuyến, hai bán kính nội tiếp và ngoại tiếp, hai chu vi tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
  2. Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng thì bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng

  • Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Hệ thức

Bài toán: Cho △ABC(AB<AC), AD là đường phân giác trong. Miền ngoài △ vẽ tia Cx sao cho góc BCx = góc BAD. Gọi I là giao điểm của Cx và AD. Chứng minh rằng:

a) △ADB∼△CDI

b) AD.AC=AB.AI

c) AD2 = AB.AC – BD.DC

Giải: Ta có hình vẽ:

  • Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Định lí Talet và Hai đường thẳng song song

Bài toán: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD và CE. Kẻ các đường cao DF và EG của  ∆ADE. Chứng minh:

  1. a) △ADB∼△AEG
  2. b) AD.AE = AB.AG = AC.AF
  3. c) FG // BC

Giải: Ta có hình vẽ:

AB.AG = AC.AF (cmb) suy ra: AB/AF=AC/AG

Suy ra: FG // BC (định lí Talet đảo)

  • Chứng minh hai tam giác đồng dạng – góc tương ứng bằng nhau

Bài toán: Cho △ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh:

  1. a) △HBE∼△HCE
  2. b) △HED∼△HBC và góc HDE = góc HAE

Giải: Ta có hình vẽ

Tổng hợp các phương pháp chứng minh hai tam giác đồng dạng toán lớp 8

  • Phương pháp 1: Hai tam giác được coi là đồng dạng nếu chúng có các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ và các góc tương ứng tỉ lệ.
  • Phương pháp 2: Định lý Talet: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó vạch ra trên cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ.
  • Phương pháp 3: CM các điều kiện cần và đủ để hai tam giác đồng dạng: Hai tam giác có các cặp cạnh tương ứng tỷ lệ thì đồng dạng. Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì đồng dạng. Hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng tỷ lệ, hai góc xen giữa hai cặp cạnh ấy bằng nhau thì đồng dạng.
  • Phương pháp 4: Chứng minh trường hợp 1 (cạnh-cạnh-cạnh): Nếu 3 cạnh của tam giác này tỷ lệ với 3 cạnh của tam giác kia thì 2 tam giác đó đồng dạng.
  • Phương pháp 5: Chứng minh trường hợp 2 (cạnh-góc-cạnh): Nếu 2 cạnh của tam giác này tỷ lệ với 2 cạnh của tam giác kia và 2 góc tạo bởi tạo các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam đó giác đồng dạng.

🔢 GIA SƯ TOÁN

Bài tập áp dụng tam giác đồng dạng toán 8

Chứng minh 2 tam giác đồng dạng.

Bài 1: Cho ΔABC cân tại A; BC = 2a. Gọi M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D và E trên AB; AC sao cho góc DME= góc B

  • a) Chứng minh rằng: ΔBDM ∽ ΔCME
  • b) Chứng minh: ΔMDE ∽ ΔDBM
  • c) Chứng minh: BD.CE không đổi?

BD/CM = BM/CE Suy ra: DB.CE=CM.BM

Mà BM=CM=BC/2= a ⇒ BD.CE = CM.BM = a2(không đổi)

Bài 2: Cho hình thang ABCD có AB= 12,5 cm,  DC = 28,5 cm, AB// DC, góc DAB = góc DBC; Tính độ dài đoạn thẳng DB.

Giải: ta có hình vẽ:

Bài 3: Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. M, N lần lượt là trung điểm của BH và AH

chứng minh rằng:

a) ΔABM ∽ ΔCAN

b) AM ⊥ CN

Giải: ta có hình vẽ:

  • b) Xét tam giác ABH có MN là đường trung bình nên MN//AB. Vậy MN ⊥ AC tại K.

Xét tam giác AMC có AH, MK lần lượt là các đường cao nên N là trực tâm. Vậy CN ⊥ AM

Lý thuyết hai tam giác đồng dạng

1. Định nghĩa Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:

I. Các kiến thức cần nhớ

II. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Sử dụng tam giác đồng dạng để tính độ dài cạnh, chu vi, tỉ số đồng dạng, số đo góc…

Phương pháp:

Ta sử dụng định nghĩa và định lý về hai tam giác đồng dạng. Sử dụng định lý Ta-lét và tính chất tỉ lệ thức để tính toán.

Và định lý:  Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì  nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

Bài tập 1: Cho tam giác ABC có các cạnh tương ứng AB= 6cm, AC= 7cm và BC = 9cm. Tam giác A’B’C’ là một tam giác vuông tại A có A’B’= 12 cm, A’C’ = 14 cm. Hãy chứng minh hai tam giác trên đồng dạng với nhau.

Bài giải:

Ta có:

CÁCH CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

Dạng 1 : Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Hệ thức :

Bài toán: Cho △ABC(AB<AC), AD là đường phân giác trong. Miền ngoài △ vẽ tia Cx sao cho BCxˆ=BADˆ. Gọi I là giao điểm của Cx và AD. Chứng minh rằng:

  • a) △ADB∼△CDI
  • b) ADAC=ABAI
  • c) AD2 = AB.AC – BD.DC

Cách giải:

a) Xét △ADB và  △CDI , ta có:

BCxˆ=BADˆ (gt)

D1ˆ=D2ˆ (đối đỉnh)

Suy ra:  △ADB∼△CDI

b) Xét △ABD và  △AIC , ta có :

Bˆ=Iˆ (△ADB∼△CDI)

A1ˆ=A2ˆ(AD là phân giác)

Suy ra △ABD∼△AIC

Suy ra ADAC=ABAI, suy ra AD.AI = AB.AC (1)

c) Có ADCD=BDBI △ADB∼△CDI

Suy ra: AD.DI = BD.CD (2)

từ (1) và (2) :

Suy ra: AB.AC – BD.CD = AD.AI – AD.DI = AD(AI – DI ) = AD.AD = AD2

Dạng 2: Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Định lí Talet và Hai đường thẳng song song

Bài toán:

Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD và CE. Kẻ các đường cao DF và EG của  tam giác ADE. Chứng minh:

  • a) △ADB∼△AEG
  • b) AD.AE = AB.AG = AC.AF
  • c) FG // BC

Cách giải:

a) Xét tam giác ABD và AEG, ta có :

BD AC (BD là đường cao)

EG AC (EG là đường cao)

Suy ra: BD // EG

Suy ra:  △ADB∼△AEG

b) Từ a) Suy raABAE=ADAG

⇒ AD.AE = AB.AG (1)

CM tương tự, ta được : AD.AE = AC.AF (2)

Từ (1) và (2) suy ra :

AD.AE = AB.AG = AC.AF

c) Xét tam giác ABC, ta có :

AB.AG = AC.AF (cmb) suy ra: ABAF=ACAG

Suy ra: FG // BC (định lí Talet đảo)

Dạng 3: Chứng minh hai tam giác đồng dạng – góc tương ứng bằng nhau

Bài toán: Cho tam giác ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh:

  • a) Tam giác HBE và tam giác HCE đồng dạng.
  • b)  △HED∼△HBC

và HDEˆ=HAEˆ

Cách giải:

a) Xét tam giác HBE và tam giác HCD, ta có :

BEHˆ=CDHˆ=90∘ (gt)

H1ˆ=H2ˆ (đối đỉnh)

Suy ra:  △HBE∼△HCD (g – g)

b) Xét tam giác HED và HBC, ta có :

HEHD=HDHC (△HBE∼△HCD)

Suy ra: HEHD=HDHC

EHDˆ=CHBˆ(đối đỉnh)

Suy ra △HED∼△HBC(c – g – c)

Suy ra: D1ˆ=C1ˆ(1)

mà còn có: đường cao BD và CE cắt nhau tại H (gt)

BÀI TẬP CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

1. Bài tập có lời giải:

Bài 1: Cho ∆ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh :

a) ∆HBE đồng dạng ∆HCE.

d. AH.BC = AB.AC

Giải.

=> AD.AE = AB.AG (1)

cmtt, ta được : AD.AE = AC.AF (2)

từ (1) và (2) suy ra :
AD.AE = AB.AG = AC.AF

c) xét ∆ABC, ta có :
AB.AG = AC.AF (cmt)

b/ AB² = BH.BC

c/ AH² = BH.CH

d/ Gọi M là trung điểm của BH, N là trung điểm của AH. Chứng minh: CN AM.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền thành 2 đoạn BH = 9cm và HC = 16cm. Tính AB, AC, BC.

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết AB = 21cm; AC = 28cm.

a/ Tính AH

b/ Kẻ HD AB; HE AC. Tính diện tích tam giác AED.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 15cm, AC = 20cm. Kẻ đường cao AH, trung tuyến AM.

a/ Tính AH; BC.                             b/ Tính BH,CH.               c/ Tính diện tích tam giác AHM.

Bài 5: Cho có ba góc nhọn, đường cao AH. Vẽ HD vuông góc AB tại D, HE vuông góc AC tại E.

a) Chứng minh: tam giác AHB đồng dạng với tam giác ADH và tam giác AHC đồng dạng với tam giác AEH.

b) Chứng minh: AD.AB = AE.AC.

c) Cho AB = 12 cm, AC = 15 cm, BC = 18 cm. Tính độ dài đường phân giác AK của (K thuộc BC)

Bài 6: Cho ABC có AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm. Đường phân giác góc A cắt cạnh BC tại D. Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại E và BA tại K.

a/ Chứng minh ABC vuông

b/ Tính DB, DC

c/ Chứng minh tam giác EDC đồng dạng với tam giác BDK

d/ Chứng minh DE = DB

Bài 7: Cho ABC vuông tại A, cho biết AB = 15 cm, AC = 20 cm. Kẻ đường cao AH của ABC.

a) Chứng minh: tam giác AHB đồng dạng với tam giác CAB và suy ra AB² = BH.BC

b) Tính độ dài các đoạn thẳng BH và CH.

c) Kẻ HM vuông góc với AB và HN vuông góc với AC. Chứng minh: AM.AB = AN.AC

d)Chứng minh: tam giác AMN đồng dạng với tam giác ACB

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường phân giác của góc A cắt cạnh huyền BC tại D. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC và cắt AC tại E.

a) Chứng minh tam giác DEC đồng dạng với tam giác ABC.

b) Chứng minh: DB = DE.

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 16cm, BC = 20cm. Kẻ đường phân giác BD (D thuộc AC)

a) Tính CD và AD

b) Từ C kẻ CH vuông góc với BD tại H. Chứng minh: Tam giác ABD đồng dạng với tam giác HCD

c) Tính diện tích tam giác HCD .

Hãy bình luận đầu tiên

Để lại một phản hồi

Thư điện tử của bạn sẽ không được hiện thị công khai.


*