KINH NGHIỆM HỌC GIỎI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

3/5 - (18 bình chọn)

Toán lớp 11 là chương trình khó nhất đối với hầu hết các em. Nhất là phần hình học không gian của lớp 11 yêu cầu các em phải tưởng tượng và tư duy rất nhiều. Vậy giải pháp nào giúp các em nắm được những kĩ năng cơ bản để học giỏi hình học không gian? Những chia sẻ bổ ích của Gia sư Tâm Tài Đức  sau đây tuy đơn giản nhưng rất dễ áp dụng.

KINH NGHIỆM HỌC GIỎI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

Mục Lục

Nắm vững lý thuyết bằng việc sử dụng sơ đồ tư duy

Nếu các em muốn vẽ hình không gian đúng và chính xác, thì việc đầu tiên các em cần làm là học thuộc lý thuyết. Bắt buộc các em phải nắm rõ các định nghĩa, định lý quan trọng. Nhưng các em cần phải biết vận dụng vào bài tập và biến nó thành kĩ năng giúp các em ghi nhớ lâu hơn. Hình học không gian lớp 11 bao gồm rất nhiều bài tập thuộc các chương: đại cương về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian – quan hệ song song và quan hệ vuông góc trong không gian với các dạng bài tập như:

  • Tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng,
  • Tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng.
  • Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
  • Chứng minh 3 đường thẳng d1, d2, d3 đồng quy
  • Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.

Dạng 1: Tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng ( P ) và ( Q )

Phương pháp 1: Tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng đó.

–  Điểm thứ nhất thường thì các bạn dễ nhìn ra

–  Điểm thứ hai là giao của hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) không đi qua điểm chung thứ nhất.

Phương pháp 2: Nếu mặt phẳng ( P ) và ( Q ) có chứa hai đường thẳng song song thì chỉ cần tìm một điểm chung. Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng sẽ là đường thẳng đi qua điểm chung và song song với hai đường thẳng này.

Dạng 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( α ).

Phương pháp tổng quát:

Trường hợp 1: Trong mp (α) có sẵn đường thẳng d’ cắt d tại H. Ta có ngay d ∩ (α) = H.

Trường hợp 2: Trong mp không có sẵn d1 cắt d. Khi đó ta làm bước sau:

–  Chọn mặt phụ (β) chứa d và (β) cắt (α) theo giao tuyến d’. Khi đó: H = d’ ∩ d

Dạng 3: Chứng minh 3 điểm cùng nằm trên một đường thẳng

Phương pháp: Chứng minh 3 điểm A, B, C thằng hàng.

–  Ta chứng minh A, B, C cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt

Dạng 4: chứng minh 3 đường thẳng đồng quy

Phương pháp: Chứng minh 3 đường thẳng d1, d2, d3 đồng quy.

Phương pháp 1: Chứng minh giao của hai đường thẳng bất kỳ là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba. Cụ thể:

–  Tìm giao điểm của d1 X d2 = H.

–  Tìm 2 mặt phẳng (α) và (β) chứa điểm H sao cho: (α) ∩ (β) = d3

Phương pháp 2: Ta chứng minh d1, d2, d3 không đồng phẳng và cắt nhau từng đôi một.

Dạng 5: Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (α).

Phương pháp 1: Chứng minh d // (α) ta chứng minh d // d’, với d’ ⊂ (α).

Phương pháp 2: Chứng minh đường thẳng d nằm trong mặt phẳng khác và song song với mặt phẳng đã cho

–  Chứng minh d ⊂ (β). Sao cho: (α) // (β).

Biết cách tưởng tượng và vẽ hình chính xác

Để bắt tay vào vẽ hình, trước tiên các em cần đọc kĩ đề bài, sau đó nhớ lại kiến thức trong đầu xem định lý nào là phù hợp và áp dụng được với bài tập không gian đó. Tiếp theo các em hãy tưởng tượng xem mặt phẳng nào nhìn thấy, mặt phẳng nào không nhìn thấy để sử dụng nét đứt và nét liền cho phù hợp. Các em nên dùng bút chì để vẽ trước để tránh sai xót, sau đó mới dùng bút mực để tô lại.

Luyện tập thật nhiều

“Cần cù bù thông minh”. Nếu các em kiên trì và luyện tập thật chăm chỉ thì hình học không gian sẽ không còn là khó khăn nữa. Càng vẽ nhiều và làm nhiều bài tập các em sẽ vận dụng được kiến thức lý thuyết tốt hơn. Nếu khi mới bắt đầu tiếp xúc với hình học không gian thì các em nên tập vẽ hình thật nhiều dưới nhiều góc nhìn khác nhau. Trong quá trình luyện tập nếu có vấn đề gì khó khăn các em nên nhờ đến sự hướng dẫn của các thầy cô, gia sư toán giỏi giải đáp ngay.

Đầu tư thời gian và tham khảo nhiều sách hình không gian 11 hữu ích

Sách giáo khoa và sách bài tập là vũ khí quan trọng các em cần trang bị trước khi bắt tay vào việc học hình không gian lớp 11. Ngoài ra các em có thể tham khảo thêm nhiều quyển sách hướng dẫn về các phương pháp giải hình học không gian lớp 11, hoặc lên mạng tham khảo thêm một số mẹo vẽ hình sáng tạo và khoa học.

Để trau dồi thêm kĩ năng và phương pháp học hình lớp 11 hiệu quả, quý phụ huynh và các em học sinh vui lòng liên hệ với chúng tôi để tìm gia sư môn toán dạy kèm tại nhà. Với đội ngũ gia sư chuyên môn cao và tận tình, chắc chắn các em học sinh sẽ học hỏi được nhiều phương pháp hiệu quả để giúp con học tốt hơn.

Cách giải toán hình học không gian nhanh nhất

Một phương pháp giải toán hình học không gian hiệu quả sẽ giúp học sinh hứng thú hơn trong việc học. Dưới đây là toàn tập các bí quyết giải toán hình học không gian giúp bạn không những thấy hứng thú hơn với môn toán hình đầy trừu tượng này mà còn giải các bài toán nhanh chóng và đạt điểm cao.

cách tư duy hình học không gian
Cách tư duy hình học không gian

13 dạng toán Hình học không gian thường gặp và cách giải

BÀI TOÁN 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.

Cách 1: Tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng đó.

– Điểm chung thứ nhất thường dễ thấy.
– Điểm chung thứ hai là giao điểm của 2 đường thẳng còn lại, không qua điểm chung thứ nhất.

Cách 2: Nếu trong 2 mặt phẳng có chứa 2 đường thẳng song song thì chỉ cần tìm 1 điểm chung, khi đó giao tuyến sẽ đi qua điểm chung và song song với 2 đường thẳng này

vẽ đường nét đứt khi bị khuất, vẽ nét liền khi nhìn thấy
Vẽ đường nét đứt khi bị khuất, vẽ nét liền khi nhìn thấy

BÀI TOÁN 2: Tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P)

– Ta tìm giao điểm của a với một đường thẳng b nào đó nằm trong (P).
– Khi không thấy đường thẳng b, ta thực hiện theo các bước sau:

1. Tìm một mp (Q) chứa a.
2. Tìm giao tuyến b của (P) và (Q).
3. Gọi: A = a ∩ b thì: A = a ∩ (P).

Đừng nên chăm chăm vào một góc nhìn, hãy thử góc nhìn khác để có phương án giải dễ hơn với các bài phức tạp
Đừng nên chăm chăm vào một góc nhìn, hãy thử góc nhìn khác để có phương án giải dễ hơn với các bài phức tạp

BÀI TOÁN 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng.

Để chứng minh 3 điểm hay nhiều hơn 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh các điểm ấy thuộc 2 mặt phẳng phân biệt.

BÀI TOÁN 4: Chứng minh 3 đường thẳng a, b, c đồng quy.

– Cách 1: Ta chứng minh giao điểm của 2 đường thẳng này là điểm chung của 2 mp mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba.

Tìm A = a ∩ b.

Tìm 2 mp (P), (Q), chứa A mà (P) ∩ (Q) = c.

– Cách 2: Ta chứng minh: a, b, c không đồng phẳng và cắt nhau từng đôi một.

BÀI TOÁN 5: Tìm tập hợp giao điểm M của 2 đường thẳng di động a, b.

– Tìm mp (P) cố định chứa a.
– Tìm mp (Q) cố định chứa b.
– Tìm c = (P) ∩ (Q). Ta có M thuộc c.
– Giới hạn.

BÀI TOÁN 6: Dựng thiết diện của mp(P) và một khối đa diện T.

Muốn tìm thiết diện của mp(P) và khối đa diện T, ta đi tìm đoạn giao tuyến của mp(P) với các mặt của T. Để tìm giao tuyến của (P) với các mặt của T, ta thực hiện theo các bước:

1. Từ các điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của (P) với một mặt của T.
2. Kéo dài giao tuyến đã có, tìm giao điểm với các cạnh của mặt này từ đó làm tương tự ta tìm được các giao tuyến còn lại, cho tới khi các đoạn giao tuyến khép kín ta sẽ có thiết diện cần dựng.

cách học hình học không gian tốt
Cách học hình học không gian tốt

Ngoài ra muốn giải toán hình học không gian nhanh nhất bạn cần phải nắm chắc lí thuyết, biết cách vẽ hình và tưởng tượng, làm thật nhiều bài tập trong sách giáo khoa và nâng cao.

BÀI TOÁN 7: Chứng minh một đường thẳng a đi qua 1 điểm cố định.

* Phương pháp:

Ta chứng minh: a = (P) ∩ (Q) trong đó (P) là một mặt phẳng cố định và (Q) di động quanh một đường thẳng b cố định. Khi đó a đi qua: I = (P) ∩ b.

BÀI TOÁN 8: Chứng minh 2 đường thẳng a, b song song.

* Phương pháp:

Cách 1: Ta chứng minh: a, b đồng phẳng rồi áp dụng các phương pháp chứng minh // trong hình học phẳng như: Ta lét, đường trung bình, … để chứng minh: a // b.

Cách 2: Chứng minh: a, b cùng // với một đường thẳng thứ ba c.

Cách 3: Áp dụng định lý về giao tuyến: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và lần lượt chứa hai đường thẳng song song cho trước thì giao tuyến của chúng cùng phương với 2 đường thẳng ấy.

BÀI TOÁN 9: Tìm góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a, b.

* Phương pháp:

Lấy một điểm O tùy ý.

Qua O dựng c // a, d // b.

Góc nhọn tạo bởi c và d là góc giữa 2 đường thẳng a, b.

* Chú ý: Ta nên chọn O thuộc a hoặc b khi đó ta chỉ cần vẽ một đường thẳng // với đường còn lại.

BÀI TOÁN 10: Chứng minh đường thẳng a song song với mp(P).

* Phương pháp:

– Cách 1: Ta chứng minh: a // với một đường thẳng . Khi không thấy được b ta làm theo các bước:

  • Tìm một mp(Q) chứa a.
  • Tìm b = (P) ∩ (Q).
  • Chứng minh: b // a.

– Cách 2: Chứng minh: 

BÀI TOÁN 11: Dựng thiết diện song song với một đương thẳng a cho trước.

* Phương pháp:

Ta dựa vào tính chất: Mặt phẳng song song với đường thẳng a, nếu cắt mặt phẳng nào chứa a thì sẽ cắt theo giao tuyến song song với a.

BÀI TOÁN 12: Chứng minh 2 mặt phẳng song song.

* Phương pháp:

Chứng minh mặt phẳng này chứa 2 đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia.

BÀI TOÁN 13: Thiết diện cắt bởi một mặt phẳng song song với một mp cho trước.

* Phương pháp:

Dựa vào Định lý: Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi một mp thứ ba thì 2 giao tuyến // nhau.

1. Nắm chắc lí thuyết

Khác với Toán đại số, phần hình học không gian đòi hỏi bạn cần phải nắm bắt và hiểu thật rõ lí thuyết. Thậm chí là cần phải học thuộc tất cả các định lí, định nghĩa quan trọng.

Bởi điều này sẽ quyết định tới việc vẽ hình của bạn. Sẽ không vẽ được hình nếu không nắm chắc lí thuyết và đương nhiên là cũng không thể làm được bài tập. Nhưng chỉ học thuộc thì chưa đủ, cần phải biết vận dụng vào các bài tập, biến nó thành kĩ năng mới có thể nhớ lâu được.

2. Biết cách vẽ hình và tưởng tượng khi giải toán hình học không gian

Trước hết cần biết cách vẽ hình, nếu hình sai thì không thể làm được bài. Và một quy tắc chấm điểm là: vẽ sai hình thì bài làm sẽ không được tính điểm. Nhìn vào một hình cần phải biết tưởng tượng.

Điều này tưởng như khó, nhưng thực chất lại khá dễ nếu thường xuyên rèn luyện: vẽ đường nét đứt khi bị khuất, vẽ nét liền khi nhìn thấy. Một chú ý nhỏ nữa là hãy vẽ hình bằng bút chì, sau đó mới tô lại bằng bút mực; để tránh trường hợp vẽ bút mực ngay từ đầu, bởi khi sai sẽ không thể xóa đi được.

Nguyên tắc giúp teen vẽ hình chính xác

Nguyên tắc giúp teen vẽ hình chính xác

Đầu tiên, teen cần đọc hết bài toán trước khi vẽ hình, không mất nhiều thời gian lắm đâu! Trong lúc đọc, các bạn hãy kết hợp luôn với lý thuyết đã học, giả thiết theo đề bài và điều phải chứng minh để lựa chọn cách vẽ sao cho rõ ràng nhất.

vẽ hình

Khi bắt đầu, teen cần vẽ mặt phẳng đầu tiên nằm ngang theo dạng hình bình hành (hoặc một nửa hình bình hành) đủ thoáng và rộng. Đối với đường thẳng hoặc đoạn thẳng nằm trong mặt phẳng ngang các bạn nên vẽ nghiêng, chếch qua một bên. Còn những đường thẳng nằm trong mặt phẳng ngang, cắt nhau, nên vẽ cắt nhau về bên phải hoặc về bên trái, hoặc về phía trước hình vẽ; hạn chế điểm cắt đưa về phía sau.

vẽ mặt phẳng

Teen không nên bỏ qua một vài lưu ý nhỏ về đường thẳng: Với các đường thẳng song song thì trung điểm của một đoạn thẳng phải vẽ đúng. Nều teen phải vẽ các đoạn thẳng bằng nhau và các góc bằng nhau, các góc vuông không nhất thiết phải vẽ đúng. Đặc biệt chú ý những phần đường thẳng bị các mặt phẳng che khuất thì vẽ bằng nét đứt.

hình chóp

Những dạng hình phẳng cơ bản cũng có những quy tắc vẽ mà teen không được quên, đó là: Hình thang các bạn nên vẽ nghiêng về một bên. Đối với hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi đều vẽ theo dạng hình bình hành.

3. Làm nhiều bài tập

Hình không gian thực chất không khó, muốn giải toán hình học không gian nhanh nhất chỉ cần làm nhiều bài tập và cố gắng ghi nhớ là có thể dễ dàng đạt được điểm. Hãy biết cách học theo các dạng bài khác nhau, không nên học theo kiểu tràn lan, không rõ dạng vì như vậy sẽ rất khó để có thể học tốt phần hình này.

4. Chọn sách tham khảo

Không phải bất cứ sách tham khảo nào cũng tốt, bạn nên biết cách chọn sách sao cho phù hợp với mình. Nhưng cuốn sách đó nên có những phần như sau: trước hết cũng tóm tắt lại lí thuyết trong sách giáo khoa và cho ví dụ cụ thể. Sau đó là bài tập được phân dạng và phải có đáp án, với lời giải chi tiết rõ ràng.

5. Tìm bằng được đáp án

Muốn học được hình học không gian bạn nên chủ động nhờ thầy cô giảng giúp khi một bài tập không làm được. Hăng hái phát biểu và chữa bài ngay trên lớp để khắc sâu kiến thức. Cùng nhau chia sẻ bài tập với các bạn trong lớp, sẽ biết được nhiều dạng bài hay, bởi “học thầy không tày học bạn”.

Nhiều bạn có tư tưởng là không xem đáp án khi không làm được bài, vì cho rằng đó là điều không tốt. Nhưng không phải như vậy bạn ạ, nên và cần xem đáp án.

Vì khi đã làm được bài cũng nên tham khảo thêm cách làm trong đáp án để học hỏi. Khi không làm được thì cần phải đọc lời giải, sau đó tự trình bày lại theo ý hiểu của mình, biết biến cái đó thành kiến thức của mình.

Nhưng nên tránh việc bê nguyên đáp án chép vào vở, vì như vậy chỉ làm cho bạn mất thời gian mà không có kiến thức. Khi biết cách biến kiến thức trong sách, thành kiến thức của mình thì bạn sẽ làm tốt hầu hết các dạng toán.

Nắm chắc kiến thức hình học phẳng

Bước đầu tiên trong cách học tốt hình học không gian lớp 11 đó là nắm hết được các định lý trong hình học phẳng. Trong quá trình học hình học không gian chúng ta sẽ cần áp dụng rất nhiều kiến thức của hình học phẳng. Các kiến thức hình học phẳng giống như một “nền móng”. Chỉ khi “nền móng” vững chắc thì mới có thể xây được ngôi nhà cao và rộng.

Nếu học sinh nào giỏi về hình học phẳng sẽ rất dễ dàng tiếp thu những kiến thức mới về hình không gian. Việc học của các em cũng vì thế mà trở nên “nhàn tênh’.Bởi vì các em đã luyện được cho mình một thói quen tư duy, liên tưởng. Có thể áp dụng các định lí vào giải bài một cách thuần thục.

Học cách nhìn hình

Học cách nhìn hình

Học sinh cần luyện tập cách nhìn hình để giải nhanh bài tập

Luyện cách nhìn hình là một trong những bước cơ bản đầu tiên để có thể giỏi hình học không gian.

Chỉ khi bạn có thể nhìn rõ các mặt phẳng, đường thẳng thì mới có thể áp dụng định lý, hệ quả để suy ra cách giải.

Ở bước này các em cần chú ý đến sự liên tưởng của mình. Hãy liên tưởng đến ngôi nhà với các góc, bức tường… giống như các góc, các đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.

Trong hình học quan trọng là sự hình dung, tưởng tượng. Nếu đã thành thục bước này thì các em đã rất tiến bộ và ở phần học vẽ hình tiếp theo sẽ không hề khó.

Cần tưởng tượng ra hai mặt phẳng giao nhau trong không gian
Cần tưởng tượng ra hai mặt phẳng giao nhau trong không gian

Biết cách vẽ hình đúng

Chỉ khi vẽ hình đúng và nhìn rõ được hình bạn mới có thể làm bài dễ dàng được. Trường hợp vẽ hình sai, hình khó nhìn sẽ khiến sự liên tưởng bị cản trở. Đa phần học sinh vẽ sai hình, sai góc nhìn sẽ khó làm được bài.

Chính vì thế vẽ hình đúng là cách học tốt hình học không gian lớp 11 mà các em cần phải chú ý.

Để vẽ đúng hình không khó, các em có thể tham khảo một số kinh nghiệm dưới đây.

Kinh nghiệm vẽ hình học không gian

Nếu học sinh chịu khó rèn luyện trong một thời gian thì trình độ vẽ hình sẽ nâng lên rất nhiều.

– Trước hết, khi vẽ hình các em nên dùng bút chì, để khi sai thì có thể tẩy đi và vẽ lại. Khi vẽ bằng bút mực thì các em chỉ có thể bỏ và vẽ hình khác mặc dù chỉ nhầm lẫn một chút.

–  Những đường thẳng, mặt phẳng bị khuất chúng ta vẽ bằng nét đứt, dùng nét liền khi phần hình không bị che.

– Khi vẽ hình chóp: Mặt đáy nên vẽ mỏng và dẹt, khi mặt đáy được vẽ quá lớn sẽ khiến hình khó nhìn, nhìn không thật.

– Nên vẽ nhiều hình với các góc nhìn khác nhau, tức là thay đổi đỉnh, mặt phẳng đáy, mặt phẳng bên… Vì nếu chỉ vẽ 1 hình mà không vẽ đúng góc dễ nhìn thì các em sẽ phải bỏ cuộc.

– Các chi tiết nên được thể hiện rõ ở mặt đáy, hạn chế vẽ vào mặt khuất sẽ khiến các em khó hình dung được bài.

Chú ý khi đọc đề hình không gian

Một đề bài hình học không gian không quá dài nhưng có các dữ liệu quan trọng cần chú ý. Chỉ cần bỏ sót một ý các em sẽ không hoàn thành được câu hỏi.

Khi bài cho dữ liệu “Cho hình chóp đều cạnh a”. Trong đầu chúng ta cần phải nghĩ ngay đến các kiến thức liên quan như:  “chân đường cao trùng với đáy”; “Các cạnh bằng nhau”, “ các mặt bên bằng nhau”…

Nếu trong bài có cho “mặt bên là tam giác cân”, lúc này học sinh cần sử dụng kiến thức về hình học phẳng để vận dụng. Một tam giác cân thì sẽ có đường cao đồng thời là trung tuyến…

Cách tốt nhất khi đọc đề, học sinh hãy liệt kê ra tất cả thông tin đề đã cho và yêu cầu của đề. Từ yêu cầu của bài các em sẽ suy ngược lại những kiến thức cần sử dụng.

Ví dụ: Đề bài yêu cầu chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau Các em cần chứng minh:

Hai đường thẳng vuông góc với 2 mặt phẳng

Góc tạo giữa hai đường thẳng trên bằng 90 độ

Luyện sự sáng tạo khi học hình không gian

Luyện sự sáng tạo chính là cách để học tốt hình học không gian lớp 11. Trong nhiều bài các em sẽ cần phải kẻ thêm hình mà trong bài không hề cho trước.

Khi kẻ thêm đường thẳng, thêm mặt phẳng thì việc giải bài sẽ trở nên dễ dàng hơn. Tuy nhiên điều này cần sự sáng tạo từ các em.

Để có được sự sáng tạo này các em cần làm nhiều dạng bài, tham khảo các cách giải khác nhau. Từ đó các em có thể hình thành nên thói quen tập tư duy vẽ thêm hình khi làm bài tập. Kết hợp các dạng bài với nhau để có được nhiều cách thức giải bài nhanh và hay hơn.

Cách phân tích đề giúp teen làm bài tốt hơn

phân tích đề

Dù đề bài hình học không gian thường ngắn gọn, Nhưng nội dung đều rất đáng giá. Chẳng hạn như, “cho một hình chóp đều cạnh a” đồng nghĩa với việc bạn đã biết cần phải sử dụng những kiến thức như: các cạnh bằng nhau, chân đường cao trùng với tâm đáy, các mặt bên bằng nhau, góc hợp bởi cạnh bên với đáy bằng nhau…

Teen nên tóm tắt và liệt kê lại thông tin đề bài cho. Đề yêu cầu chứng minh gì, các bạn hãy suy ngược lại từ những kiến thức đã có. Ví dụ, chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì dựa vào lý thuyết, từ đó đi tìm từng dữ kiện một rồi chắp nối lại.

Học gì thì học cũng đừng quên sách bài tập

Tại sao lại như vậy? Cùng với sách giáo khoa, sách bài tập hình học không gian lớp 11 cung cấp những dạng bài cơ bản và thường gặp nhất. Nhưng sách bài tập chứa đựng nhiều dạng bài hơn sách giáo khoa và lời giải cũng chi tiết hơn rất nhiều.

Với những học sinh vẫn còn khổ sở vì tính trừu tượng của hình không gian, các bạn có thể bắt đầu lại một cách dễ dàng hơn với sách bài tập. Chưa rõ cách giải, teen có thể mở phần lời giải của sách bài tập, sau đó tóm tắt lại từng bước làm bài và tham khảo cách vẽ hình. Sau đó, các bạn mở lại đề bài để tự giải lại.

Biết cách làm từng dạng bài, kết hợp với việc luyện tập nhiều lần, đảm bảo rằng hình học không gian không còn là điều gì đáng sợ với teen nữa!

Xem thêm

Gia sư toán

Cách giải nhanh trắc nghiệm toán hình 11 (Phần 1)

Cách giải nhanh trắc nghiệm toán hình 11 (Phần 2)

KINH NGHIỆM HỌC GIỎI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

Hãy bình luận đầu tiên

Để lại một phản hồi

Thư điện tử của bạn sẽ không được hiện thị công khai.


*