✅ Cách viết phương trình đường tròn đi qua 1 điểm có tâm I ⭐️⭐️⭐️⭐️⭐

Cách viết phương trình đường tròn đi qua 1 điểm có tâm I – Toán 10 chuyên đề

Với dạng bài tập yêu cầu viết phương trình đường tròn đi qua 1 điểm có tâm I, hay lập phương trình đường tròn có tâm I và đi qua A, chúng ta sẽ tìm hiểu cách giải ngay dưới đây.

* Cách viết phương trình đường tròn tâm I và đi qua A (đi qua 1 điểm)

 – Tính bán kính R = IA của (C)

 hay R2 = IA2 = (xA – xI)2 +  (yA – yI)2 

 – Đường tròn có tâm I(a;b)

 – Viết phương trình đường tròn (C) dạng: (x – a)2 + (y – b)2 = R2

* Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(1;-3) và đi qua điểm O(0;0).

* Lời giải:

– Đường tròn (C) có tâm I(1;-3) và đi qua điểm O(0;0) nên ta có:

 (x – 1)2 + (y + 3)2 = 10

* Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(-2;3) và đi qua điểm A(2;-3).

* Lời giải:

– Đường tròn (C) có tâm I(-2;3) và đi qua điểm A(2;-3) nên ta có:

 R2 = IA2 = (xA – xI)2 +  (yA – yI)2 

 = [2 – (-2)]2 + [(-3) – 3]2

 = 42 + 62 = 52

⇒ Phương trình đường tròn (C) tâm I và đi qua A là:

 (x + 2)2 + (y – 3)2 = 52

* Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(2;-4) và đi qua điểm M(1;3).

* Lời giải:

– Đường tròn (C) có tâm I(2;-4) và đi qua điểm M(1;3) nên ta có:

 R2 = IM2 = (1 – 2)2 + (3 + 4)2 = 1 + 49 = 50

⇒ Phương trình đường tròn (C) tâm I và đi qua M là:

 (x – 2)2 + (y + 4)2 = 50

Viết phương trình đường tròn

Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính

A. Phương pháp giải

+ Đường tròn ( C) : tâm I (a; b) và bán kính R có phương trình :

(x – a)² + (y – b)² = R²

+ Cho hai điểm A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B). Để viết phương trình đường tròn đường kính AB ta làm như sau:

– Bước 1: Tìm trung điểm I của AB.

– Bước 2: Tính IA.

– Bước 3: Lập phương trình đường tròn ( C) tâm I và bán kính R = IA.

+ Đường tròn ( C) tâm I và đi qua điểm A

⇒ Đường tròn ( C): tâm I và bán kính R = IA.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hai điểm A( 5; -1) ; B( -3; 7) . Đường tròn có đường kính AB có phương trình là

A. x² + y² + 2x – 6y – 22 = 0.    B. x² + y² – 2x – 6y – 22 = 0.

C. x² + y² – 2x – y + 1 = 0.    D. Tất cả sai

Lời giải

Tâm I của đường tròn là trung điểm AB nên I( 1; 3) .

Vậy phương trình đường tròn là: (x – 1)² + (y – 3)² = 32

Hay x² + y² – 2x- 6y – 22 = 0.

Chọn B.

Ví dụ 2. Cho hai điểm A( -4; 2) và B(2; -3). Tập hợp điểm M thỏa mãn có phương trình là

A. x² + y² + 2x + 6y + 1= 0.    B. x² + y² – 6x – y + 1 = 0.

C. x² + y² – 2x – 6y – 10 = 0.    D. x² + y² + 2x + y + 1 = 0.

Lời giải

Theo giả thiết: MA² + MB² = 31

Tương đương : ( x + 4)² + (y – 2)² + (x – 2)² + (y + 3)² = 31

Hay x² + y² + 2x + y + 1 = 0

Chọn D.

Ví dụ 3. Đường tròn tâm I( 3; -2) và bán kính R= 2 có phương trình là

A. ( x + 3)² + (y + 2)² = 2    B. (x – 3)² + (y + 2)² = 4

C. ( x + 3)² + (y – 2)² = 4    D. (x – 3)² + (y – 2)² = 4

Lời giải

Phương trình đường tròn có tâm (3; -2) , bán kính R = 2 là:

(x – 3)² + (y + 2)² = 4

Chọn B.

Ví dụ 4. Đường tròn tâm I( -1; 2) và đi qua điểm M( 2;1) có phương trình là

A. x² + y² + 2x + 4y – 5 = 0.    B. x² + y² + 2x – 4y – 5 = 0.

C. x² + y² + 2x + 4y + 5 = 0.    D. x² + y² – 2x + 4y – 5 = 0.

Hướng dẫn giải

Đường tròn có tâm I( -1; 2) và đi qua M( 2; 1) thì có bán kính là:

Khi đó có phương trình là: (x + 1)² + ( y – 2)² = 10

Hay x² + y² + 2x – 4y – 5 = 0.

Chọn B.

Ví dụ 5. Cho hai điểm A( 5; -1) và B( -3; 7). Đường tròn có đường kính AB có phương trình là

A. x² + y² – 2x + 6y – 3 = 0.    B. x² +y² – 2x – 6y – 22 = 0

C. x² +y² + 2x + 6y – 3 = 0    D. x² +y² + 2x + 6y – 15 = 0

Hướng dẫn giải

Tâm I của đường tròn là trung điểm của AB nên I( 1;3) .

Vậy phương trình đường tròn là:

(x – 1)² + (y – 3)² = 32 hay x² +y² – 2x – 6y – 22 = 0

Chọn B.

Ví dụ 6: Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(3; 1); B(5; 5) và tâm I nằm trên trục hoành?

A.(x – 1)² + y² = 16    B. (x – 10)² + y² = 50

C. (x + 1)² + y² = 17    D. (x – 10)² + y² = 50

Lời giải

+ Tâm I của đường tròn nằm trên trục hoành nên I(a; 0).

⇒ Phương trình đường tròn ( C): (x – a)² + y² = R².

+ Điểm A( 3; 1) thuộc (C) nên (3 – a)² + 1² = R² (1).

+ Điểm B( 5; 5) thuộc ( C) nên ( 5 – a)² + 5² = R² ( 2).

Lấy (1) trừ (2); vế trừ vế ta được : 4a – 40 = 0

⇔ 4a = 40 ⇔ a = 10

Thay a = 10 vào (1) ta được: R² = 50.

Vậy phương trình đường tròn ( C): (x – 10)² + y² = 50

Chọn D.

Ví dụ 7: Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(0; 1); B(1; 0) và tâm I nằm trên đường thẳng d: x + y + 2 = 0?

A. x² + y² – 2x + 2y – 1 = 0    B. x² + y² + 2x + 2y – 3 = 0

C. x² + y² + 4x – 3 = 0    D. Tất cả sai

Lời giải

Giả sử phương trình đường tròn ( C): x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 ( với a² + b² – c > 0)

Là đường tròn có tâm I(a; b).

+ Do điểm A(0; 1) thuộc đường tròn nên: 0 + 1 – 2b + c = 0 hay – 2b + c = – 1 (1)

+ Do điểm B(1; 0) thuộc đường tròn nên: 1 + 0 – 2a + c = 0 hay -2a + c = -1 (2)

+ Do tâm I thuộc đường thẳng d: x + y + 2 = 0 nên a + b + 2 = 0 (3).

Từ ( 1); (2) và (3) ta có hệ phương trình :

⇒ Phương trình đường tròn cần tìm là:

x² + y² + 2x + 2y – 3 = 0

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Đường tròn tâm I ( 3; -1) và bán kính R = 2 có phương trình là

A. (x + 3)² + (y – 1)² = 4.    B. (x – 3)² + (y – 1)² = 4.

C. (x – 3)² + (y + 1)² = 4.    D. (x + 3)² + (y + 1)² = 4.

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

Phương trình đường tròn có tâm I( 3; -1) , bán kính R = 2 là:

(x – 3)² + (y + 1)² = 4

Câu 2: Đường tròn tâm I( -1; 2) và đi qua điểm M( 2; 1) có phương trình là

A. x² + y² + 2x – 4y – 5 = 0    B. x² + y² + 2x – 4y – 3 = 0

C. x² + y² – 2x – 4y – 5 = 0    D. x² + y² + 2x + 4y – 5 = 0 Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

+ Đường tròn có tâm I( -1; 2) và đi qua M(2; 1) thì có bán kính là:

+ Khi đó đường tròn có phương trình là:

(x + 1)² + (y – 2)² = 10 ⇔ x² + y² + 2x – 4y – 5 = 0

Câu 3: Đường tròn tâm I( 1; 4) và đi qua điểm B( 2; 6) có phương trình là

A. (x + 1)² + (y + 4)² = 5    B. (x – 1)² + (y – 4)² = √5

C. (x + 1)² + (y + 4)² = √5    D. (x – 1)² + (y – 4)² = 5

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Trả lời:

Đường tròn có tâm I( 1; 4) và đi qua B( 2; 6) thì có bán kính là:

Khi đó đường tròn có phương trình là: (x – 1)² + (y – 4)² = 5

Câu 5: Cho hai điểm A( 5; -1) ; B( -3; 7) . Đường tròn có đường kính AB có phương trình là

A. x² + y² – 2x – 6y – 22 = 0    B. x² + y² – 2x – 6y + 22 = 0

C. x² + y² – 2x – y – 1 = 0    D. x² + y² + 6x + 5y + 1 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

Đường tròn ( C) có đường kính AB nên tâm I của đường tròn là trung điểm AB

Vậy phương trình đường tròn là:

(x – 1)² + (y – 3)² = 32 ⇔ x² + y² – 2x – 6y – 22 = 0

Câu 6: Cho hai điểm A( – 4; 2) và B( 2; -3) . Tập hợp điểm M(x; y) thỏa mãn :
MA² + MB² = 31 có phương trình là

A. x² + y² + 2x + 6y + 1 = 0    B. x² + y² – 6x – 5y + 1 = 0

C. x² + y² – 2x – 6y – 22 = 0    D. x² + y² + 2x + y + 1 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Trả lời:

Ta có: MA² = ( x + 4)² + (y – 2)² và MB² = ( x – 2)² + (y + 3)²

Để MA² + MB² = 31

⇔ (x + 4)² + (y – 2)² + (x – 2)² + (y + 3)² = 31 ⇔ x² + y² + 2x + y + 1 = 0

Câu 7: Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(1; 2); B(2; 1) và tâm nằm trên đường thẳng (d): 3x + 4y + 7 = 0?

A. x² + y² + 2x + 2y – 11 = 0     B. x² + y² – 2x + 2y – 11 = 0

C. x² + y² + 2x – 2y – 11 = 0    D. x² + y² – 2x – 2y – 11 = 0 Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

+ Gọi phương trình đường tròn cần tìm ( C): x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 (a² + b² – c > 0).

Đường tròn này có tâm I(a;b).

+ Do tâm I nằm trên đường thẳng d: 3x + 4y + 7 = 0 nên 3a + 4b + 7 = 0 (1).

+ Do điểm A(1;2) nằm trên đường tròn nên:

1 + 4 – 2a – 4b + c = 0 hay -2a – 4b + c = – 5 (2)

+ Do điểm B(2;1) nằm trên đường tròn nên :

4 + 1 – 4a – 2b + c = 0 hay – 4a – 2b + c = -5 (3)

Từ (1); (2) và (3) ta có hệ:

⇒ Phương trình đường tròn cần tìm là:

x² + y² + 2x + 2y – 11 = 0

Câu 8: Biết đường tròn ( C) đi qua A(1; 2); B(3; 1) và tâm I nằm trên trục tung. Tìm tâm đường tròn?

🔢 GIA SƯ TOÁN