Cách Viết phương trình dao động điều hòa hay, chi tiết

Phần 1: Viết phương trình dao động của vật khi VTCB nằm tại gốc tọa độ

A. Phương pháp & Ví dụ

1. Phương pháp

Tìm A:

Trong đó:

– L là chiều dài quỹ đạo của dao động

– S là quãng đường vật đi được trong một chu kỳ

– Tìm ω:

– Tìm φ

Cách 1: Dựa vào t = 0 ta có hệ sau:

(Lưu ý: v.φ < 0)

Cách 2: Sử dụng vòng tròn lượng giác (VLG)

Góc Φ là góc hợp bởi giữa trục Ox và OM tại thời điểm ban đầu.

Bước 3: Thay kết quả vào phương trình: x = Acos(ωt + Φ ) được phương trình dao động điều hòa của vật.

2. Ví dụ

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 5cm, Trong 10 giây vật thực hiện được 20 dao động. Xác định phương trình dao động của vật biết rằng tại thời điểm ban đầu vật tại ví trí cân bằng theo chiều dương.

Hướng dẫn:

Cách 1: Ta có: Phương trình dao động của vật có dạng: x = A.cos(ωt + φ) cm

Trong đó:

– A = 5 cm

– f = N/t = 20/10 = 2 Hz → ω = 2πf = 4π (rad/s).

– Tại t = 0 s vật đang ở vị trí cân bằng theo chiều dương

→ Phương trình dao động của vật là: x = 5cos(4πt – π/2)cm

Cách 2: Tìm φ:

– Tại t = 0 s vật đang ở vị trí cân bằng theo chiều dương (v > 0) → Φ < 0 → Chọn B

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 6cm, Biết cứ 2s vật thực hiện được một dao động, tại thời điểm ban đầu vật đang ở vị trí biên dương. Xác định phương trình dao động của vật.

Hướng dẫn:

Cách 1: Phương trình dao động của vật có dạng: x = A cos(ωt + φ) cm

Trong đó:

– A = L/2 = 3cm.

– T = 2 s

– ω = 2π/T = π (rad/s).

Tại t = 0s vật đang ở vị trí biên dương

Vậy phương trình dao động của vật là: x = 3cos(πt) cm

Cách 2: Tìm Φ:

– Tại t = 0s vật đang ở vị trí biên dương

⇒ Loại A, C còn lại B, D khác nhau biên độ A

– Tìm A = L/2 = 3cm

Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa với vận tốc khi đi qua vị trí cân bằng là v = 20cm/s. Khi vật đến vị trí biên thì có giá trị của gia tốc là a = 200 cm/s². Chọn gốc thời gian là lúc vận tốc của vật đạt giá trị cực đại theo chiều dương

Hướng dẫn:

Cách 1: Phương trình dao động có dạng: x = A cos(ωt + φ) cm.

Trong đó:

– v_max = A.ω = 20 cm/s

– a_max = A.ω² = 200 cm/s²

Ví dụ 4: Một vật dao động điều hòa với tần số góc 10π rad/s, tại thời điểm t = 0 vật đi qua vị trí có li độ x = 2√2π cm thì vận tốc của vật là 20√2 cm/s. Xác định phương trình dao động của vật?

Hướng dẫn:

– Tại t = 0 s vật có vận tốc v = 20√2 π > 0 ⇒ Φ < 0

⇒ Loại B, C còn lại A, D khác nhau A

Phần 2: Viết phương trình dao động của vật có VTCB nằm ngoài gốc tọa độ

1. Phương pháp

Nếu dịch chuyển trục Ox sao cho vị trí cân bằng có tọa độ x_o, khi đó biên dương là A + x, biên âm là –A + x_o. Áp dụng phép di chuyển trục tọa độ ta có:

Phương trình tọa độ của vật:

x = Acos( ωt + φ) + x_o

+ x là tọa độ của vật

+ Acos( ωt + φ) là li độ của vật

+ x_o là tọa độ của VTCB

2. Ví dụ

Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox, quỹ đạo của chất điểm nằm trong khoảng từ tọa độ -1 cm đến + 7 cm. Thời gian chất điểm đi từ tọa độ + 3 cm đến + 5 cm bằng 1/6 s. Thời điểm ban đầu, t = 0 được chọn lúc chất điểm đi qua vị trí tọa độ + 1 cm theo chiều âm. Phương trình dao động của chất điểm là

Hướng dẫn:

Vẽ đường tròn mô tả dao động điều hòa từ –1cm đến 7 cm thì VTCB của vật có tọa độ x_o = + 3 cm.

Chất điểm đi từ 3 cm ⇒ 5cm: tương đương quay trên đường tròn góc

Vật đi từ -1 cm ⇒ + 7 cm nên độ dài quĩ đạo L = 8cm = 2A ⇒ A = 4cm.

Lúc t = 0, x = 1 cm theo chiều âm: dựng đường vuông góc với trục Ox tại 1cm và lấy điểm trên đường tròn. Suy ra, xác định được góc φ = 2π/3 rad.

⇒ Phương trình: x = Acos(ωt + φ) + x_o

x = 4cos(πt – 2π/3) + 3 cm.

B. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1.(CĐ 2009). Chất điểm dao động điều hòa có phương trình vận tốc v = 4πcos2πt (cm/s). Gốc tọa độ ở vị trí cân bằng. Mốc thời gian được chọn vào lúc chất điểm có li độ và vận tốc là:

A. x = 2 cm, v = 0

B. x = 0, v = 4π cm/s

C. x = – 2 cm, v = 0

D. x = 0, v = – 4π cm/s

Hiển thị lời giải

Vì v = 4πcos2πt (cm/s) nên x = 2cos(2πt – π/2) cm;

cosφ = cos(-π/2) = = 0 → x = 0 → |v| = v_max; φ < 0 → v > 0. Đáp án B.

Câu 2. (CĐ 2010). Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox có phương trình x = 8cos(πt + π/4) (cm). Gốc tọa độ ở vị trí cân bằng. Gốc thời gian (t = 0) được chọn lúc chất điểm có li độ và vận tốc là:

A. x = 4√2 cm và v = – 4π√2 cm/s

B. x = – 4√3 cm và v = 4π√3 cm/s

C. x = 4 cm và v = – 4π cm/s

D. x = 8 cm và v = 0

Hiển thị lời giải

cosφ = cos(π/4) = x/A = √2/2 → x = (√2/2)A = 4√2 cm

v = – 8πsin (π/4)= – 4π√2 cm/s. Đáp án A

Câu 3. (CĐ 2013). Một vật nhỏ dao động điều hòa dọc theo trục Ox (vị trí cân bằng ở O) với biên độ 4 cm và tần số 10 Hz. Tại thời điểm t = 0, vật có li độ 4 cm. Phương trình dao động của vật là:

A. x = 4cos(20πt + π) cm

B. x = 4cos20πt cm

C. x = 4cos(20πt – 0,5π) cm

D. x = 4cos(20πt + 0,5π) cm

Hiển thị lời giải

ω = 2πf = 20π rad/s; cosφ = x/A = 1 → φ = 0. Đáp án B

Câu 4.(ĐH 2011). Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Trong thời gian 31,4 s chất điểm thực hiện được 100 dao động toàn phần. Gốc thời gian là lúc chất điểm đi qua vị trí có li độ 2 cm theo chiều âm với tốc độ là 40√3 cm/s. Lấy π = 3,14. Phương trình dao động của chất điểm là:

Câu 5. Vật dao động điều hòa với tần số f = 5 Hz. Khi t = 0, vật có li độ x = 4 cm và vân tốc v = 125,6 cm/s. Phương trình dao động của vật là:

Câu 6. Một chất điểm dao động điều hòa theo phương nằm ngang trên đoạn MN = 2a. Thời gian ngắn nhất để nó đi từ M sang N là 1s. Tại thời điểm ban đầu chất điểm có li độ a/2 theo chiều dương. Phương trình dao động của chất điểm có dạng:

Hiển thị lời giải

Thời gian ngắn nhất để nó đi từ M sang N là 1s ⇒ T = 2s ⇒ ω = π rad/s

Tại thời điểm ban đầu chất điểm có li độ (a/2) : (a/2) = acosφ ⇒ φ = π/3 và φ = -π/3

Do chất điểm đi theo chiều dương ⇒ φ = -π/3

Phương trình dao động của chất điểm là: x = acos(πt – π/3)

Đáp án D

Câu 7. Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 20cm. Sau (1/12)s kể từ thời điểm ban đầu vật đi được 10cm mà chưa đổi chiều chuyển động vật đến vị trí có li độ 5cm theo chiều dương. Viết phương trình dao động của vật.

Hiển thị lời giải

Ứng với thời gian vật từ N đến M với góc quay Δφ = φ/3

Hay thời gian đi là T/6 = 1/12

Câu 8. Một vật nhỏ dao động điều hòa dọc theo trục Ox với biên độ 5 cm, chu kì 2 s. Tại thời điểm t = 0, vật đi qua cân bằng O theo chiều dương. Phương trình dao động của vật là:

Câu 9. Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox, quanh vị trí cân bằng O. Trong thời gian 20s vật thực hiện được 40 lần dao động. Tại thời điểm ban đầu vật chuyển động qua vị trí cân bằng theo chiều âm của trục toạ độ với vận tốc 20π cm/s. Phương trình dao động của vật là:

Hiển thị lời giải

Vật dao động điều hoà theo phương trình tổng quát x = Acos(ωt + φ), trong khoảng thời gian 20s vật thực hiện được 40 lần dao động suy ra chu kì dao động

T = 0,5s, tần số góc ω = 4π rad/s.

Tại thời điểm ban đầu t = 0 có x₀ = 0, v₀ = 20π cm/s. Vận tốc của vật khi vật chuyển động qua vị trí cân bằng là vận tốc cực đại v_max = ωA suy ra A = 5 cm

Tại thời điểm ban đầu vật chuyển động theo chiều âm của trục toạ độ nên φ = π/2

Câu 10 Một vật dao động điều hòa với tần số f = 0,5 Hz, biên độ A = 2 cm.Viết phương trình dao động của vật. Chọn gốc thời gian khi vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương.

Câu 11. Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Trong thời gian 31,4 s chất điểm thực hiện được 100 dao động toàn phần. Gốc thời gian là lúc chất điểm đi qua vị trí có li độ 2 cm theo chiều âm với tốc độ là 40√3 cm/s. Lấy π = 3,14. Phương trình dao động của chất điểm là:

Từ điều kiện ban đầu tại t = 0 ta có x₀ = Acosφ = 2cm ; v₀ = – ωAsinφ < 0.

Nên cosφ = 1/2 ; sinφ > 0 đo đó φ = π/3

Vậy phương trình dao động của vật là x = 4cos(20t + π/3)cm.

Đáp án B

Câu 12. Một vật dao động điều hòa trên đoạn thẳng dài 4 cm với f = 10 Hz. Lúc t = 0 vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm của quỹ đạo. Phương trình dao động của vật là :

Câu 13. Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox. Lúc vật qua vị trí có li độ x = -√2 cm thì có vận tốc v = -π√2 cm/s và gia tốc a = π²√2 cm/s². Chọn gốc toạ độ ở vị trí trên. Phương trình dao động của vật dưới dạng hàm số sin.

Câu 14. Vật m dao động điều hòa với tần số 0,5 Hz, tại gốc thời gian nó có li độ x(0) = 4 cm, vận tốc v(0) = 12,56 cm/s, lấy π = 3,14. Hãy viết phương trình dao động.

Câu 15. Vật dao động điều hòa với biên độ A = 4 cm và T = 2s. Chọn gốc thời gian là lúc vật qua VTCB theo chiều dương của quỹ đạo. Phương trình dao động của vật là:

Câu 16. Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình: x = 20 + 10sin(10πt)cos(10πt). Tính li độ cực đại của chất điểm ?

A. 10 cm     B. 5 cm     C. 30 cm     D. 10 cm

Hiển thị lời giải

Dùng công thức biến đổi tích thành tổng ta thu được phương trình:

Bài tập vật lý lớp 12 viết phương trình dao động điều hòa ôn thi quốc gia vật lý phổ thông

Tóm tắt lý thuyết:

• phương trình li độ: x = Acos(ωt + φ)
• phương trình vận tốc: v = – ωAsin(ωt + φ) = ωAcos(ωt + φ + π/2)
• phương trình gia tốc: a = – ω²Acos(ωt + φ) = ω²Acos(ωt + φ + π)

1/ Phương pháp đại số: theo giả thiết của đầu bài xác định lần lượt A, ω; φ
2/ Phương pháp sử dụng máy tính casio

Trong đó:

• x_o là li độ tại thời điểm t_o (thời điểm ban đầu)
• v_o là vận tốc tại thời điểm có li độ x_o (v_o lấy dấu – nếu vật chuyển động theo chiều âm, lấy dấu + nếu vật chuyển động theo chiều dương)
• i: là phần ảo của số phức (bấm ENG trên máy tính)

3/ Phương pháp giải nhanh
4 đáp án trùng A => chỉ cần xác định φ và ω tương tự cho trường hợp trùng ω hoặc φ => đáp án đúng
4 đáp án khác nhau => sau khi tính được một trong 3 đại lượng hoặc A, hoặc ω hoặc φ => đáp án đúng
Tính nhanh các giá trị của φ tại các vị trí đặc biệt

• Vị trí cân bằng: φ = ± π/2 (theo chiều dương lấy dấu – và ngược lại)
• Vị trí biên dương: φ = 0
• Vị trí biên âm: φ = π

5/ Phương pháp tích phân

• x = ∫vdt

v = ∫adt

Bài tập vật lý lớp 12 viết phương trình dao động điều hòa
Bài tập 1. Chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. trong thời gian Δt = 10π (s) chất điểm thực hiện được 100 dao động toàn phần. Gốc thời gian là lúc chất điểm qua vị trí có li độ 2cm theo chiều âm với tốc độ là 40√3 cm/s. phương trình dao động cảu chất điểm là
A. x = 6 cos(20t – π/6) cm
B. x = 4cos(20t + π/3) cm
C. x = 4cos(20t – π/3) cm
D. x = 6cos(20t + π/6)

Bài tập 2. Một vật nhỏ dao động điều hòa dọc theo trục Ox với biên độ 5cm, chu kỳ 2s. Tại thời điểm t = 0, vật đi qua vị trí cân bằng O theo chiều dương. Phương trình dao động cảu vật là
A. x = 5cos(πt – π/2) cm
B. x = 5cos(2πt – π/2) cm
C. x = 5cos(2πt + π/2) cm
D. x = 5cos(πt + π/2) cm

T = 2s => ω = π; t = 0 vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương => φ = – π/2 => chọn A

Bài tập 3. Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox với chu kỳ 0,2s. Lấy gốc thời gian là lúc chất điểm đi qua vị trí có li độ 2cm theo chiều âm với tốc độ 20π cm/s. Phương trình dao động của chất điểm là
A. x = 2√2 cos(10πt – π/4) cm
B. x = 2√2 cos(10πt – 3π/4) cm
C. x = 2√2 cos(10πt + π/4) cm
D. x = 2√2 cos(10πt + 3π/4) cm

ω = 10π => x_o = 2cm; v_o = -20π
casio => chọn C

Bài tập 4. Một vật dao động có gia tốc biến đổi theo thời gian: a = 6 sin20t (m/s²) biểu thức vận tốc của vật là
A. v = 120cos(20t) cm/s
B. v = 0,012cos(20t + π/2) cm/s
C. v = 30cos(20t + π) cm/s
D. v = 0,3cos(20t) cm/s

v = ∫6sin(20t)dt = -6/20 cos(20t) m/s = -30cos20t (cm/s) = 30 cos(20t + π) => chọn C

Bài tập 5. Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 4cm và T = 2s. Chọn gốc thời gian là lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương của quỹ đạo. Phương trình dao động của vật là
A. x = 4cos(2πt – π/2)cm
B. x = 4cos(πt – π/2) cm
C. x = 4cos(2πt + π/2) cm
D. x = 4cos(πt + π/2) cm

ω = π; tại t = 0 vật qua VTCB theo chiều dương => φ = -π/2 => chọn B

Bài tập 6. Một vật dao động điều hòa với tốc độ ban đầu là 1m/s và gia tốc -10√3 m/s². Khi đi qua vị trí cân bằng thì vật có vận tốc là 2m/s. Phương trình dao động của vật là
A. x = 10cos(20t – π/3) cm
B. x = 20cos(10t – π/6) cm
C. x = 10cos(20t – π/6) cm
D. x = 20cos(20t – π/3) cm

a = -10√3 m/s²; v = 1m/s; vmax = 2m/s = 200cm/s
A² = a²/ω⁴ + v²/ω² => A² ω⁴ = a² + v² ω² => ω²vmax = a² + v² ω² => ω = 10rad/s
vmax = A ω => A = 20 cm => Chọn B

Bài tập 7. Chất điểm dao động điều hòa trên đoạn MN = 4 cm, với chu kỳ T = 2s. Chọn gốc thời gian khi chất điểm có li độ x = -1cm, vận tốc có giá trị dương. Phương trình dao động là
A. x = 2cos(πt + 2π/3) cm
B. x = 2cos(πt + π/3) cm
C. x = 2cos(πt – 2π/3) cm
D. x = 2cos(4πt – 2π/3) cm

A = MN/2 = 2cm; ω = 2π/T = π
pt dao động x = Acos (ωt + φ)
tại t = 0 => x = Acos φ = -1cm => cosφ = -1/2 => φ = ± 2π/3
v > 0 => vật đang theo chiều dương => φ = -2π/3 => chọn C

Bài tập 8. Một lò xo có độ cứng k nằm ngang, một đầu gắn cố định một đầu gắn vật có khối lượng m. Kích thích để vật dao động điều hòa với vận tốc cực đại bằng 3m/s và gia tốc cực đại bằng 30π (m/s²). Thời điểm ban đàu t = 0 vật có vận tốc v = 1,5m/s và thế năng đang tăng. Phương trình gia tốc của vật
A. a = 30π cos(10πt + 5π/6) m/s²
B. a = 15π cos(20πt + π/3) m/s²
C. a = -30π cos(10πt + π/6) m/s²
D. a = 30π cos(20πt + π/3) m/s²

pt a = -ω²A cos(ωt + φ) = ω²A cos(ωt + φ + π) = amax cos (ωt + φ + π)
vmax = ωA = 3m/s
amax = ω² A = 30π (m/s²) => ω = amax/vmax = 10π
tại t = 0; v = 1,5 = vmax/2 => φ = -π/6 hoặc φ = -5π/6
thế năng đang tăng (x tăng) => φ = -π/6 => chọn A

Bài tập 9. Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T = 1s. Lúc t = 2,5s, vật qua li độ x = -5√2cm với vận tốc v = -10π√2 cm/s. Phương trình dao động của vật là
A. x = 5 cos(πt + π/4) cm
B. x = 8 cos(πt – π/3) cm
C. x = 10 cos(2πt – π/4) cm
D. x = 8 cos(2πt – π/6) cm

T = 1s => ω = 2π
A² = x² + v²/ω² => A = 10cm
pt dao động x = 10cos(2πt +φ) => v = -20π sin(2πt + φ)
tại t = 2,5
x = 10cos(5π + φ) = 10 cosφ = -5√2 (1)
v = -20π(5π + φ) = -20π sinφ = -10π√2 (2)
chia (2) cho (1) => tanφ = -1 => φ = -π/4 => chọn C

Bài tập 9. Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T = 1s. Lúc t = 2,5s, vật qua li độ x = -5√2cm với vận tốc v = -10π√2 cm/s. Phương trình dao động của vật là
A. x = 5 cos(πt + π/4) cm
B. x = 8 cos(πt – π/3) cm
C. x = 10 cos(2πt – π/4) cm
D. x = 8 cos(2πt – π/6) cm

T = 1s => ω = 2π
A² = x² + v²/ω² => A = 10cm
pt dao động x = 10cos(2πt +φ) => v = -20π sin(2πt + φ)
tại t = 2,5
x = 10cos(5π + φ) = 10 cosφ = -5√2 (1)
v = -20π(5π + φ) = -20π sinφ = -10π√2 (2)
chia (2) cho (1) => tanφ = -1 => φ = -π/4 => chọn C

Bài tập 10. Chọn gốc O của hệ trục tại vị trí cân bằng. Vật nặng trong con lắc lò xo dao động điều hòa dọc theo trục Ox’, vận tốc khi qua VTCB là 20π cm/s. Gia tốc cực đại 2m/s². Gốc thời gian được chọn lúc vật qua điểm M_o có x_o = -10√2 cm hướng về vị trí cân bằng. Coi π² = 10. Phương trình dao động của vật là
A. x = 10cos(10t/π + π/3) cm
B. x = 15cos(πt – 3π/4) cm
C. x = 20cos(10/π t – 3π/4) cm
D. x = 3cos(πt + π/4) cm

vmax = ωA = 20π cm/s
amax = ω² A = 200 (cm/s²) => ω = amax/vmax = 10/π => A = 20cm
tại t = 0 => x = 20cosφ = -10√2 => cos φ = -√2/2 => φ = ±3π/4
x_o = -10√2 cm hướng về vị trí cân bằng => theo chiều dương => φ = -3π/4 => chọn C

Bài tập 11. Một vật nặng khối lượng m=1kg. Chọn gốc tọa độ và gốc thế năng tại VTCB của vật. Biết biểu thức thế năng Wt= 0,1cos(4πt + π/2) + 0,1. Viết phương trình dao động điều hòa của vật

Bài tập 12. Một vật dao động điều hoà với tốc độ cực đại là 10π. Ban đầu vật đứng ở vị trí có vận tốc là 5π và thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí trên đến vị trí có vận tốc bằng 0 là 0.1s . Viết phương trình dao động của vật.

Ví dụ 1: Một vật nhỏ dao động điều hòa theo trục Ox (VTCB là O) với biên độ 4cm và tần số 10Hz. Tại thời điểm t = 0, vật có li độ 4cm. Phương trình dao động của vật là:

A. x=4cos(20πt+π)

B. x=4cos(20πt)

C. x=4cos(10t+π)

D. x=4cos(10t)

Hướng dẫn:

Ta có:

A=4cm

f=10Hz→ω=2πf=2π.10=20πrad/s

Tại t = 0: x=A→φ=0

=> Phương trình dao động : x=4cos(20πt)

Chọn B

Ví dụ 2: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Trong thời gian 31,4s chất điểm thực hiện được 100 dao động thành phần. Chọn gốc thời gian lúc vật đi qua vị trí có li độ x=2cm theo chiều âm với tốc độ 40√3cm/s. Phương trình dao động của chất điểm là:

🔭 GIA SƯ LÝ